Determinanta

U matematici determinanta ${\displaystyle A\to detA}$ je funkcija definisana na skupu svih kvadratnih matrica. Ona poprima vrijednosti iz skupa skalara. Osim oznake ${\displaystyle detA}$ za determinantu kvadratne matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

često se koristi i oznaka

${\displaystyle A=det{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ ^[1] Za fiksiran pozitivni cijel broj ${\displaystyle n}$, postoji jedinstvena funkcija determinante za ${\displaystyle n\times n}$ matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom ${\displaystyle R}$. Specijalno, ova funkcija postoji kada je ${\displaystyle R}$ polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Determinanta matrice definiše se induktivno, tj. determinanta matrice ${\displaystyle n}$ − tog reda definiše se pomoću determinante matrice ${\displaystyle (n-1)}$−og reda. Pođimo redom.

Definicija (Determinanta prvog reda)

Determinanta matrice ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}}$ je broj a

Definicija (Determinanta drugog reda)

Determinantom matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}$ zovemo broj ${\displaystyle A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$^[2]

• 
  Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma

Interpretacija kada matrica ima elemente koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa vrhovima ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (a,b)}$, (${\displaystyle a+c,b+d)}$, i ${\displaystyle (c,d)}$. (Za ovaj paralelogram kažemo da je razapet nad vektorima ${\displaystyle (a,b)}$ i ${\displaystyle (c,d)}$.) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se vrhovi poredaju u pravcu kazaljke na satu.

Primjer

Za ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}=>det\ A=5}$

Za ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-3&3\\4&5\end{bmatrix}}=>det\ B=-3*5-3*4=-5-12=-27}$

Definicija (Determinanta trećeg reda)

Determinanta matrice ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$ je broj ${\displaystyle A=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{21}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{33}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{31}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}=}$ ${\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}$ ^[3]

Dobijen korištenjem Laplasovog razvoja po elementima prvog reda matrice.

Formula za determinantu formata ${\displaystyle 3\times 3}$ se lako pamti primjenom „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata ${\displaystyle 3\times 3}$ jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od severozapada do jugoistoka, minus zbir proizvoda elemenata tri diagonalne linije koje vode od jugozapada do sjeveroistoka, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano:

${\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}a&\color {red}b&\color {red}c&a&b\\d&\color {red}e&\color {red}f&\color {red}d&e\\g&h&\color {red}i&\color {red}g&\color {red}h\end{matrix}}\quad -\quad {\begin{matrix}a&b&\color {blue}c&\color {blue}a&\color {blue}b\\d&\color {blue}e&\color {blue}f&\color {blue}d&e\\\color {blue}g&\color {blue}h&\color {blue}i&g&h\end{matrix}}}$

Sarusovo pravilo je samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

Definicija (Determinanta n-tog reda)

Determinanta matrice ${\displaystyle A=det{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ je broj

${\displaystyle A=a_{11}\ det\ A_{11}-a_{21}\ det\ A_{21}+...+(-1)^{n+1}a_{n1}\ det\ A_{n1}=}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}a_{k1}A_{k1}}$

Primjer

Izračunati determinantu

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&5&-2&6\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&-1&1&1\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&3\\-1&1&1\\\end{vmatrix}}=1*{\begin{vmatrix}1&3\\1&1\\\end{vmatrix}}-0*{\begin{vmatrix}2&3\\1&1\\\end{vmatrix}}-1*{\begin{vmatrix}2&3\\1&3\\\end{vmatrix}}=-5}$

1. ^ Determinant
2. ^ Determinant
3. ^ determinanta 3x3